Selasa, 17 Februari 2015
Geometric mean
Salam sejahtera dan bahagia buat sobat semua, smoga selalu diberkahi oleh Yang Kuasa. Dalam kesempata yang berbahagia ini kita akan akan membuka sedikit tentang Geometric mean."
 |
| Dalam matematika, rata-rata geometrik adalah jenis rata-rata atau rata-rata , yang menunjukkan tendensi sentral atau nilai khas dari himpunan bilangan dengan menggunakan produk dari nilai-nilai mereka (sebagai lawan dari aritmatika berarti yang menggunakan jumlah mereka). The geometris rata-rata didefinisikan sebagai n th akar (di mana n adalah hitungan angka) dari produk nomor. |
Misalnya, rata-rata geometrik dari dua angka, katakanlah 2 dan 8, hanyalah akar kuadrat dari produk mereka, yaitu 
.Sebagai contoh lain, rata-rata geometrik dari tiga angka 4, 1, dan 1/32 adalah akar pangkat tiga dari produk mereka (1/8), yang adalah 1/2, yaitu 
.
.Sebagai contoh lain, rata-rata geometrik dari tiga angka 4, 1, dan 1/32 adalah akar pangkat tiga dari produk mereka (1/8), yang adalah 1/2, yaitu .Sebuah rata-rata geometrik sering digunakan ketika membandingkan item yang berbeda - menemukan "sosok jasa" tunggal untuk item ini -. Ketika setiap item memiliki beberapa properti yang memiliki kisaran angka yang berbeda [1] Sebagai contoh, rata-rata geometrik dapat memberikan bermakna "rata-rata "untuk membandingkan dua perusahaan yang masing-masing dinilai pada 0 sampai 5 untuk kelestarian lingkungan mereka, dan dinilai pada 0 hingga 100 untuk kelangsungan hidup keuangan mereka. Jika rata-rata aritmatika digunakan bukannya rata-rata geometrik, kelayakan finansial diberi bobot lebih karena rentang numerik yang lebih besar-sehingga perubahan persentase kecil di peringkat keuangan (misalnya pergi 80-90) membuat perbedaan yang jauh lebih besar di aritmatika berarti dari persentase perubahan besar dalam kelestarian lingkungan (misalnya pergi dari 2 sampai 5). Penggunaan rata-rata geometrik "menormalkan" rentang yang rata-rata, sehingga tidak ada rentang mendominasi pembobotan, dan persentase perubahan tertentu dalam salah satu properti memiliki efek yang sama pada rata-rata geometrik. Jadi, perubahan 20% pada kelestarian lingkungan 4-4,8 memiliki efek yang sama pada mean geometrik sebagai perubahan 20% viabilitas keuangan 60-72.
The geometris berarti dapat dipahami dari segi geometri . Mean geometrik dari dua angka, 
dan 
, Adalah panjang dari satu sisipersegi yang luasnya sama dengan luas dari persegi panjang dengan sisi panjang dan . Demikian pula, rata-rata geometrik dari tiga angka, , , Dan 
, Adalah panjang dari satu sisikubus yang volumenya sama dengan yang dari balok dengan sisi yang panjangnya sama dengan tiga angka yang diberikan.
dan , Adalah panjang dari satu sisipersegi yang luasnya sama dengan luas dari persegi panjang dengan sisi panjang dan . Demikian pula, rata-rata geometrik dari tiga angka, , , Dan , Adalah panjang dari satu sisikubus yang volumenya sama dengan yang dari balok dengan sisi yang panjangnya sama dengan tiga angka yang diberikan.The geometris rata-rata hanya berlaku untuk bilangan positif. [2] Hal ini juga sering digunakan untuk serangkaian angka yang nilainya dimaksudkan untuk dikalikan bersama-sama atau eksponensial di alam, seperti data pertumbuhan populasi manusia atau suku bunga investasi keuangan.
The geometris rata-rata juga merupakan salah satu dari tiga klasik sarana Pythagoras , bersama-sama dengan mean aritmetik tersebut dan rata-rata harmonik . Untuk semua data set positif mengandung setidaknya satu pasangan nilai-nilai yang tidak sama, mean harmonik selalu sedikit dari tiga cara, sedangkan mean aritmetik selalu yang terbesar dari tiga dan mean geometrik selalu di antara (lihat Ketimpangan aritmatika dan sarana geometris .)
Perhitungan
Mean geometrik dari suatu kumpulan data 
diberikan oleh:
diberikan oleh:Mean geometrik dari suatu kumpulan data kurang dari kumpulan data yang aritmatika berarti kecuali semua anggota kumpulan data yang sama, dalam hal sarana geometris dan aritmatika adalah sama. Hal ini memungkinkan definisi dari hitung-geometris berarti , campuran dari dua yang selalu berada di antara keduanya.
The geometris berarti juga mean aritmetik-harmonik dalam arti bahwa jika dua sekuens ( 
) Dan ( 
) Didefinisikan:
) Dan ( ) Didefinisikan:dan
dimana 
adalah rata-rata harmonik dari nilai sebelumnya dari dua sekuens, kemudian dan akan berkumpul untuk rata-rata geometris dari 
dan 
.
adalah rata-rata harmonik dari nilai sebelumnya dari dua sekuens, kemudian dan akan berkumpul untuk rata-rata geometris dari dan .Hal ini dapat dilihat dengan mudah dari fakta bahwa urutan tidak konvergen ke batas umum (yang dapat ditunjukkan oleh Bolzano-Weierstrass Teorema ) dan fakta bahwa rata-rata geometrik yang diawetkan:
Mengganti aritmatika dan mean harmonik oleh sepasang sarana umum berlawanan, eksponen terbatas menghasilkan hasil yang sama.
Hubungan dengan mean aritmetik dari logaritma
Dengan menggunakan identitas logaritmik untuk mengubah rumus, perkalian dapat dinyatakan sebagai jumlah dan kekuatan sebagai perkalian.
Ini kadang-kadang disebut log-rata. Hal ini hanya menghitung mean aritmetik dari nilai-nilai logaritma-berubah dari 
(Yaitu, mean aritmetik pada skala log) dan kemudian menggunakan eksponensial untuk kembali perhitungan dengan skala asli, yaitu, itu adalah umum f-rata dengan 
. Sebagai contoh, rata-rata geometrik dari 2 dan 8 dapat dihitung sebagai:
(Yaitu, mean aritmetik pada skala log) dan kemudian menggunakan eksponensial untuk kembali perhitungan dengan skala asli, yaitu, itu adalah umum f-rata dengan . Sebagai contoh, rata-rata geometrik dari 2 dan 8 dapat dihitung sebagai:dimana adalah setiap basis dari logaritma (biasanya 2, 
atau 10).
adalah setiap basis dari logaritma (biasanya 2, atau 10).Rumus sisi kanan atas umumnya alternatif pilihan untuk implementasi dalam bahasa komputer: overflows atau underflows cenderung terjadi dibandingkan dengan menghitung produk dari suatu himpunan bilangan karena mengambil logaritma.
Hubungan dengan aritmatika berarti dan berarti melestarikan spread�
Jika satu set nomor non-identik dikenai rata-melestarikan spread - yaitu, dua atau lebih elemen dari himpunan yang "menyebar terpisah" dari satu sama lain sementara meninggalkan mean aritmetik tidak berubah - maka rata-rata geometrik selalu menurun. [ 3]
Perhitungan dalam waktu yang konstan�
Dalam kasus di mana rata-rata geometrik yang digunakan untuk menentukan tingkat pertumbuhan rata-rata beberapa kuantitas, dan nilai-nilai awal dan akhir 
dan kuantitas yang diketahui, produk dari tingkat pertumbuhan yang diukur pada setiap langkah tidak perlu diambil. Sebaliknya, rata-rata geometrik hanya
dan kuantitas yang diketahui, produk dari tingkat pertumbuhan yang diukur pada setiap langkah tidak perlu diambil. Sebaliknya, rata-rata geometrik hanyadimana 
adalah jumlah langkah dari awal ke keadaan akhir.
adalah jumlah langkah dari awal ke keadaan akhir.Jika nilai-nilai yang 
, Maka tingkat pertumbuhan antara pengukuran 
dan 
adalah 
. Mean geometrik dari tingkat pertumbuhan ini hanya
, Maka tingkat pertumbuhan antara pengukuran dan adalah . Mean geometrik dari tingkat pertumbuhan ini hanyaProperti
Properti mendasar dari rata-rata geometrik, yang dapat dibuktikan tidak benar untuk setiap rata-rata lain,
Hal ini membuat geometris berarti hanya berarti benar ketika rata-rata hasil dinormalisasi, yaitu hasil yang disajikan sebagai rasio terhadap nilai-nilai referensi. [4] Hal ini terjadi ketika menyajikan kinerja komputer sehubungan dengan komputer referensi, atau ketika menghitung rata-rata tunggal Indeks dari beberapa sumber yang heterogen (misalnya harapan hidup, pendidikan dan tahun kematian bayi). Dalam skenario ini, dengan menggunakan aritmetika atau mean harmonik akan mengubah peringkat hasil tergantung pada apa yang digunakan sebagai referensi. Sebagai contoh, mengambil perbandingan berikut waktu pelaksanaan program komputer:
Komputer AKomputer BKomputer C
Program 1 1 10 20
Program 2 1000 100 20
Aritmatika rata-rata 500,5 55 20
Geometric mean 31,622. . . 31,622. . . 20
Aritmatika dan sarana geometris "setuju" bahwa komputer C adalah tercepat. Namun, dengan menghadirkan nilai-nilai tepat normalisasi dan menggunakan mean aritmetik, kita dapat menunjukkan salah satu dari dua komputer lain untuk menjadi yang tercepat. Normalisasi dengan hasil A memberikan A sebagai komputer tercepat sesuai dengan rata-rata aritmatika:
Komputer AKomputer BKomputer C
Program 1 1 10 20
Program 2 1 0.1 0.02
Aritmatika rata-rata 1 5.05 10.01
Geometric mean 1 1 0,632. . .
sementara normalisasi dengan hasil B memberikan B sebagai komputer tercepat sesuai dengan rata-rata aritmatika:
Komputer AKomputer BKomputer C
Program 1 0.1 1 2
Program 2 10 1 0.2
Aritmatika rata-rata 5.05 1 1.1
Geometric mean 1 1 0,632
Dalam semua kasus, peringkat yang diberikan oleh rata-rata geometris tetap sama dengan yang diperoleh dengan nilai-nilai unnormalized.
Aplikasi
Pertumbuhan proporsional
Informasi lebih lanjut: tingkat pertumbuhan tahunan majemuk
The geometris rata-rata lebih tepat daripada aritmatika berarti untuk menggambarkan pertumbuhan proporsional, baik pertumbuhan eksponensial (pertumbuhan proporsional konstan) dan berbagai pertumbuhan, dalam bisnis rata-rata geometris dari tingkat pertumbuhan dikenal sebagai tingkat pertumbuhan tahunan gabungan (CAGR). Mean geometrik dari pertumbuhan selama periode menghasilkan tingkat pertumbuhan konstan setara yang akan menghasilkan jumlah akhir yang sama.
Misalkan hasil pohon jeruk 100 jeruk satu tahun dan kemudian 180, 210 dan 300 tahun-tahun berikutnya, sehingga pertumbuhan adalah 80%, 16,6666% dan 42,8571% untuk setiap tahun masing-masing. Menggunakan mean aritmetik menghitung (linear) pertumbuhan rata-rata 46,5079% (80% + 16,6666% + 42,85261% dibagi 3). Namun, jika kita mulai dengan 100 jeruk dan membiarkannya tumbuh 46,5079% setiap tahun, hasilnya adalah 314 jeruk, bukan 300, sehingga rata-rata linear over-negara pertumbuhan year-on-year.
Sebaliknya, kita dapat menggunakan rata-rata geometrik. Tumbuh dengan 80% sesuai dengan mengalikan dengan 1.80, jadi kita mengambil rata-rata geometrik dari 1,80, 1,166666 dan 1,428571, yaitu 
, Sehingga "rata-rata" pertumbuhan per tahun adalah 44,2249%. Jika kita mulai dengan 100 jeruk dan membiarkan nomor tumbuh dengan 44,2249% setiap tahun, hasilnya adalah 300 jeruk.
, Sehingga "rata-rata" pertumbuhan per tahun adalah 44,2249%. Jika kita mulai dengan 100 jeruk dan membiarkan nomor tumbuh dengan 44,2249% setiap tahun, hasilnya adalah 300 jeruk.Aplikasi dalam ilmu-ilmu sosial
Meskipun rata-rata geometrik telah relatif langka di komputasi statistik sosial, mulai tahun 2010 Indeks Pembangunan Manusia PBB melakukan beralih ke mode ini perhitungan, dengan alasan bahwa lebih baik mencerminkan sifat non-disubstitusikan dari statistik yang dikumpulkan dan dibandingkan:The geometris berarti menurunkan tingkat substitusi antara dimensi [yang dibandingkan] dan pada saat yang sama memastikan bahwa penurunan 1 persen di bilang harapan hidup saat lahir memiliki dampak yang sama pada IPM sebagai penurunan 1 persen dalam pendidikan atau pendapatan. Dengan demikian, sebagai dasar untuk perbandingan prestasi, metode ini juga lebih menghormati perbedaan intrinsik seluruh dimensi daripada rata-rata sederhana. [5]
Perhatikan bahwa tidak semua nilai-nilai yang digunakan untuk menghitung IPM dinormalisasi, beberapa dari mereka malah memiliki bentuk 
. Hal ini membuat pilihan mean geometrik kurang jelas dari satu harapkan dari "Properties" di atas.
. Hal ini membuat pilihan mean geometrik kurang jelas dari satu harapkan dari "Properties" di atas.Aspek rasio�
Dalam pilihan 16:9 aspect ratio oleh SMPTE , menyeimbangkan 2.35 dan 4:3, rata-rata geometrik adalah 
, Dan dengan demikian 
... dipilih. Ini ditemukan secara empiris oleh Kerns Powers, yang memotong persegi panjang dengan daerah yang sama dan membentuk mereka untuk mencocokkan masing-masing rasio aspek populer. Ketika tumpang tindih dengan titik tengah mereka selaras, ia menemukan bahwa semua orang persegi panjang aspek rasio cocok dalam sebuah persegi panjang luar dengan aspek rasio 1.77:1 dan mereka semua juga dibahas persegi panjang inner umum kecil dengan aspek rasio 1.77:1 yang sama. [6] Nilai ditemukan oleh Powers adalah persis rata-rata geometris dari rasio aspek ekstrim, 4:03 (1.33:1) dan CinemaScope (2.35:1), yang kebetulan dekat dengan 
( 
). Perhatikan bahwa rasio antara tidak berpengaruh pada hasil, hanya dua rasio ekstrim.The geometris rata-rata telah digunakan dalam memilih kompromi rasio aspek dalam film dan video: diberikan dua aspek rasio, rata-rata geometrik dari mereka memberikan kompromi antara mereka, distorsi atau tanam baik dalam arti yang sama. Konkritnya, dua persegi panjang daerah yang sama (dengan pusat yang sama dan sisi paralel) dari rasio aspek yang berbeda berpotongan di sebuah persegi panjang yang aspect ratio adalah rata-rata geometrik, dan lambung mereka (persegi panjang terkecil yang berisi keduanya) juga memiliki aspek rasio rata-rata geometriknya .
, Dan dengan demikian ... dipilih. Ini ditemukan secara empiris oleh Kerns Powers, yang memotong persegi panjang dengan daerah yang sama dan membentuk mereka untuk mencocokkan masing-masing rasio aspek populer. Ketika tumpang tindih dengan titik tengah mereka selaras, ia menemukan bahwa semua orang persegi panjang aspek rasio cocok dalam sebuah persegi panjang luar dengan aspek rasio 1.77:1 dan mereka semua juga dibahas persegi panjang inner umum kecil dengan aspek rasio 1.77:1 yang sama. [6] Nilai ditemukan oleh Powers adalah persis rata-rata geometris dari rasio aspek ekstrim, 4:03 (1.33:1) dan CinemaScope (2.35:1), yang kebetulan dekat dengan ( ). Perhatikan bahwa rasio antara tidak berpengaruh pada hasil, hanya dua rasio ekstrim.The geometris rata-rata telah digunakan dalam memilih kompromi rasio aspek dalam film dan video: diberikan dua aspek rasio, rata-rata geometrik dari mereka memberikan kompromi antara mereka, distorsi atau tanam baik dalam arti yang sama. Konkritnya, dua persegi panjang daerah yang sama (dengan pusat yang sama dan sisi paralel) dari rasio aspek yang berbeda berpotongan di sebuah persegi panjang yang aspect ratio adalah rata-rata geometrik, dan lambung mereka (persegi panjang terkecil yang berisi keduanya) juga memiliki aspek rasio rata-rata geometriknya .Menerapkan teknik rata-rata geometris yang sama untuk 16:09 dan 04:03 kira-kira menghasilkan 14:09 ( 
...) Aspek rasio, yang juga digunakan sebagai kompromi antara rasio ini. [7] Dalam hal ini 14:09 persis mean aritmetik dari dan 
, Sejak 14 adalah rata-rata 16 dan 12, sedangkan rata-rata geometrik yang tepat adalah 
tetapi dua cara yang berbeda, aritmatika dan geometri, kira-kira sama karena kedua angka yang cukup dekat satu sama lain (perbedaan kurang dari 2%).
...) Aspek rasio, yang juga digunakan sebagai kompromi antara rasio ini. [7] Dalam hal ini 14:09 persis mean aritmetik dari dan , Sejak 14 adalah rata-rata 16 dan 12, sedangkan rata-rata geometrik yang tepat adalah tetapi dua cara yang berbeda, aritmatika dan geometri, kira-kira sama karena kedua angka yang cukup dekat satu sama lain (perbedaan kurang dari 2%).Lapisan anti-reflektif
Dalam pelapisan optik, di mana refleksi perlu diminimalkan antara dua media indeks bias n 0 dan n 2, optimal indeks bias n 1 dari lapisan anti-reflektif diberikan oleh mean geometrik: 
.
.Kerataan spektral
Dalam pemrosesan sinyal , spektral kerataan , ukuran seberapa datar atau runcing spektrum adalah, didefinisikan sebagai rasio rata-rata geometris dari daya spektrum untuk aritmatika yang berarti.
Geometri
Dalam kasus segitiga siku-siku , ketinggian adalah panjang garis membentang tegak lurus dari sisi miring ke level 90 � vertex. Membayangkan bahwa garis ini membagi sisi miring menjadi dua segmen, rata-rata geometrik panjang segmen ini adalah panjang dari ketinggian.
Dalam sebuah elips , dengan sumbu semi-minor adalah mean geometrik maksimum dan jarak minimum dari elips dari fokus , dan sumbu semi-mayor elips adalah mean geometrik dari jarak dari pusat untuk baik fokus dan jarak dari pusat baik directrix .
Keuangan [ sunting ]
The geometris rata-rata telah dari waktu ke waktu telah digunakan untuk menghitung indeks keuangan (rata-rata adalah lebih dari komponen indeks). Sebagai contoh di masa lalu FT 30 indeks menggunakan rata-rata geometrik. [8] Hal ini juga digunakan dalam baru-baru ini memperkenalkan " RPIJ "ukuran inflasi di Inggris dan di tempat lain di Uni Eropa.
Sebagai Rowley menyatakan, ini memiliki efek mengecilkan pergerakan indeks dibandingkan dengan menggunakan mean aritmetik. Sebagai Rowley menjelaskan, ada beberapa keadaan di mana hal ini tidak diinginkan, misalnya dalam mengukur biaya perubahan hidup, di mana itu tidak diinginkan untuk "meredam" perubahan besar dalam beberapa komponen indeks.
sumber:�https://www.google.co.id/#q=geometric
"
Source : http://anggrainikarnainn.blogspot.com/2014/01/geometric-mean.html
Demikianlah yang dapat kami sampaikan mengenai Geometric mean yang menjadi bahasan kita kali ini, tentunya banyak kekurangan dan kelemahan kerena terbatasnya pengetahuan saya dan banyak berharap kepada para pembaca yang budiman untuk memberikan kritik saran kepada saya. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat bagi saya khususnya dan para pembaca. Aamiin !
Tags:
Langganan:
Posting Komentar (Atom)
0 Responses to “Geometric mean”
Posting Komentar